ナローボディのハイエースをいろいろ工夫して、家族4人で車中泊やバンライフを楽しんでいます。
今回は車中泊の夜に頭を悩ませるパズルのお話しです。上のようなパズルを目にしたことがある方もおられるのではないでしょうか。このパズルいったいどうなっているのでしょう？
パズルを組み換えると隙間ができる⁈
マス目の中に2つの二等辺三角形があります。青と黄色と緑色の6つのピースを組み合わせてできた三角形。この６つのピースを組み換えると、左の三角形ではマス目がぴったりなのに、右の三角形では2つ隙間ができてしまいます。
左右の三角形の６つのピースはそれぞれ同じ形をしているのに、並べ替えるとなぜかマス目が２つ空いてしまうという謎・・・。一体どうなっているんでしょうか？
全体の形は同じ、使われている個々のピースも同じなのに、組み換えるとスキマができたり消えたりする、という何とも不思議なパズルです。きっと何かカラクリがあるに違いないとは思うのですが、そのカラクリを証明できなくて、見ているとだんだん頭がこんがらがってきます。
頭の中でピースを組み替えたりしているとだんだんこんがらかってきて訳が分からなくなってしまうのです。
そこで、ためしに三角形の半分を切り抜いて、左側に逆さ向けに貼り付けてみました。
同じように、右側の三角形も半分切り取って、逆さにしてみます。
並べ替えてみても、特に変わったことはありません。
そこで今度は左右のピースを入れ替えて、同じピース同士が横並びになるようにしてみました。
やはり、大して違いがあるようには見えません。
でもよく見てみると、切り取ったピースがマス目を少しはみ出しているような、何となく違和感を感じます。この違和感は何からくるんでしょう？
同じピースを横並びにしてみて気づいたことは、青いピースは２つ組み合わせると2×5の長方形になり、緑のピースは3×7の長方形になるということです。マス目の数でいうと、青いピースは2×5＝10個、緑のピースは3×7＝21個で、合計すると31個です。
パズル全体では5×12の長方形で60個のマス目ですから、21個を引いた残りは29個。これが黄色の部分になるはずです。
でも、実際にマス目の数を数えてみると、黄色のピースは「28個」なんです。隙間がある方もない方も、黄色いピースは28個です。
「あれ？」やっぱりなんかおかしい。
うーん。。。
青い三角形と緑色の三角形が相似（三辺と角度が等しくて大きさが異なる関係）になっているようなんですが。
ん？ 相似？ いや待てよ。
もう一度青と緑のピースをじっくり見てみることにしましょう。
青い三角形は底辺が2で高さが5です。これに対して、緑の三角形は底辺が3で高さが7です。
「2対5」と「3対7」って、底辺と高さの関係が微妙におかしくないですか？
もし青と緑の三角形が相似なのであれば、小さい方の三角形（底辺2×高さ5）に対して、大きい方の三角形は3対7じゃなくて3対7.5にならないとおかしいはずです。底辺が2から3へ1.5倍になるわけですから、高さも同じように5の1.5倍は7.5になるはずなのです。でも、ここにある黄色い三角形の高さは7で、0.5の誤差があります。
もしかしたら、このあたりにからくりがあるのかもしれません。
懐かしの三角関数！
中学か高校の頃に三角関数というのを習いました。
サイン、コサイン、タンジェント・・・たしかそんなやつです。
その時は、まったくのちんぷんかんぷんで、「こんなもの社会に出たって使うはずがない」とそのまま放置していたのですが、今さらながら三角関数というのは、三角形の２つの辺の長さから三角形の角度を求めたり、逆に角度から三角形の辺の長さを求めるための公式なんですよね。
実社会で三角関数って、実はものすごく有用な公式だということに最近ようやく気付きました。
例えばDIYで屋根の三角の角度を出したい時とか、立っている木の高さを知りたい時とか、道路の傾斜を知りたい時とか、いろんな場面で、三角関数を知っていれば求める答えがはじき出せるわけです。
先ほどのパズルの青い三角形と緑の三角形についても、この三角関数を使えば、それぞれの角度が分かるんじゃないでしょうか？
三角関数の詳しい公式については置いておくことにして、底辺2×高さ5の三角と、底辺3×高さ7の三角、この2つの角度を計算して比較してみたところ
2×5の青い三角の角度は68.2度、そして、3×7の緑の三角の角度は66.8度となりました。その差は1.4度です。
そうなんです。
小さい三角と大きい三角では斜めの辺の角度が1.4度違うのです。
正確なマス目の上に大小の三角形を並べると、大小の三角形の斜めの辺は一直線にはならず、本来少し歪むはずなんです。
でも、提示されているパズルでは、青のピースと緑のピースは斜辺の角度が等しくなっていて、斜めの線が一直線として描かれています。それはつまり、底辺5×高さ12の長方形の対角線に合わせて、青と緑の三角形の斜めの線が描いているということになります。
底辺5×高さ12の長方形の対角線の角度は、三角関数を用いて計算すると約67.4度となりました。先ほどの青と緑の三角形の角度との差は0.7度ほどです。
もう一度組み替えた長方形をよく見てみると、青と緑の三角の頂点が接する地点は、マス目の隅からほんの少しだけずれているのが分かると思います。実はここがポイントで、5×12の長方形の対角線は、マス目からほんの少しだけずれるんですね。
パズルでは、あたかも大小の三角形が相似であるかのように斜めの辺が一直線に描かれています。本来なら大小の三角形の斜辺は少し歪むはずですが、5×12の対角線に合わせるように三角形を配置することで、見た目にはわからない程度に細工をしてあるのでしょう。もしかすると微妙にマス目自体も細工してあるのかもしれません。その微妙なマス目の誤差が、先ほど上下を逆さにして貼り付けてみたときの微妙なはみ出しであり、その、ほんの少しずつのはみだし部分の合計が、マス目2つ分の空白になっている、というわけです。
わずか0.7度という角度差であたかも相似形であるように見せかけた目の錯覚ということですね。
もし実際に木片か何かでピースを作って並べ替えてみると、明らかにおかしいことに気づくはずです。
いかがでしょうか？
このパズルは、ちゃんとした正解が公開されていないようなので、今回は私なりに推測して仮説の答えを出してみました。あくまで仮説であり、答えに確信があるわけではないので、もし間違っていたら誰か教えてください。
何事も見た目で判断せず、一つ一つ具体的に考えてみることが大切なんですね。
すっかり頭が疲れました（笑）
最後まで読んでいただきありがとうございます。
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